Goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku

Autor: @hyperbola

Poznáme 3 základné goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku. Sú to sínus, kosínus a tangens. Pre lepšie pochopenie si ich vysvetlíme podľa obrázku.

Každý pravouhlý trojuholník má preponu a dve odvesny. Pri počítaní s goniometrickými funkciami si odvesny rozlíšime. Strana a bude protiľahlá odvesna k uhlu α, lebo leží oproti uhlu α a strana b bude priľahlá odvesna k uhlu α, lebo leží pri uhle α. Teraz si môžeme zadefinovať sínus, cosínus a tangens.

1.Sínus má skratku sin a vypočítame ho ako podiel dĺžok protiľahlej odvesny a prepony. Sínus uhla α na obrázku by sme vypočítali:

2. Kosínus má skratku cos a vypočítame ho ako podiel dĺžok priľahlej odvesny a prepony. Kosínus uhla α na obrázku by sme vypočítali:
 

3. Tangens má skratku tan alebo tg a vypočítame ho ako podiel dĺžok priľahlej odvesny a priľahlej odvesny. Tangens uhla α na obrázku by sme vypočítali:
 

4. Poznáme ešte jednu goniometrickú funkciu a to je kotangens. Kotangens nepatrí medzi hlavné goniometrické funkcie a nenájdeme ho ani na kalkulačke. Vypočítame ho ako obrátenú hodnotu tangensu, čiže podiel dĺžok priľahlej odvesny a priľahlej odvesny. Kotangens uhla α na obrázku by sme vypočítali:

Počítanie na kalkulačke
Na vedeckej kalkulačke nájdeme nielen znaky sin, cos a tan, ale aj ich obrátené hodnoty, čiže sin-1, cos-1 a tan-1. 

  1. sin, cos a tan používame vtedy, keď vieme uhol a chceme zistiť jeho sínus, kosínus alebo tangens
  2. sin-1, cos-1 a tan-1 používame vtedy, keď chceme zistiť uhol zo známeho sínusu, kosínusu alebo tangensu
  3. funkciu kotangens nenájdeme na kalkulačke, preto ju počítame ako obrátenú hodnotu funkcie tangens

Výškový, hĺbkový a zorný uhol

 

 

Zaujímavosť z vyššieho ročníka
Pytagorova veta s použitím goniometrických funkcií znie:
(cos α)2 + (sin α)2 = 1
Na tomto linku Hyperbola - Funkcie sínus a kosínus  sa dozvieš aj jej odôvodnenie.

Výpočty s goniometrickými funkciami nájdeš v riešených príkladoch.

Riešené príklady

Riešený príklad 1

Máme daný trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C. Strana a meria 3 cm, strana b meria 4 cm a prepona má 5 cm. Vypočítaj veľkosti všetkých uhlov v trojuholníku.

Riešenie

Najprv si spravíme náčrt:

Uhol α
Keďže vieme dostatočný počet dĺžkok strán trojuholníka na použitie goniometrických funkcií, použijeme ich.

1.Najpv vypočítame sínus uhla α pomocou goniometrických funkcií.
 

2. Teraz potrebujeme zistiť veľkosť uhla α a na to použijeme kalkulačku. Keďže vieme aká je hodnota sin α a potrebujeme zistiť uhol, tak použijeme sin-1.
 

3. pre zaujímavosť si vypočítame uhol α aj pomocou kosínusu a tangensu a pozorujeme výsledky.


Všimli sme si, že nám uhol α vyšiel rovnaký aj keď sme počítali s kosínusom alebo tangensom. Z toho vyplýva, že nezáleží, ktorú goniometrickú funkciu použijeme, vždy nám výjde veľkosť uhla rovnaká.

Uhol ß
Keďže trojuholník je pravouhlý, tak už vieme veľkostí dvoch uhlov z troch. Taktiež vieme, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°. 
180° = 36° 52´ + ß + 90°, toho vyplýva, že ß = 180° - 90° - 36° 52´ = 53° 8´

Odpoveď

Uhol α meria približne 36° 52´, uhol ß meria približne 53° 8´ a tretí uhol je pravý, čiže meria 90°.

Riešený príklad 2

Vypočítajte ostatné prvky pravouhlého trojuholníka na obrázku.

Riešenie

Tento príklad sa dá riešiť veľa spôsobmi, ale my si prejdeme len jeden.

Dopočítanie strán
1. Ako prvú si vypočítame stranu b pomocou goniometrických funkcií. Poznáme stranu a a uhol ß, čiže môžeme použiť tangens.

2. Z tejto rovnice si vyjadríme stranu b a dopočítame.

3.Tretiu stranu dopočítame pytagorovou vetou.

Dopočítanie uhlov
1. Nepoznáme len uhol α. Vieme ho dopočítať aj goniometrickými funkciami, ale jednoduchśie bude už poznáme dva uhly odpočítať od 180° ako v prvom riešenom príklade.

180° = α + 35° + 90° => α = 180° - 35° - 90° = 55°

Odpoveď

Strana b meria približne 8,8 cm, strana c meria približne 15,1 cm a uhol α má veľkosť 55°.