Funkcie sínus a kosínus

Pomocou jednotkovej kružnice vieme veľmi ľahko zistiť sínus a kosínus ľubovoľného uhla bez kalkulačky. Ukážeme si ako to ide jednodnoducho, len pomocou jednotkovej kružnice. 

Na jednotkovej kružnici sme si určili uhol <ASX a bod X, ktorý má súradnice x,y.

Z tohto uhla vieme spraviť pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny majú dĺžky x a y.

Pomocou goniometrických funkcií v pravouhlom trojuholníku (nájdeš ich na linku Hyperbola - Goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku) si vieme určiť sínus a kosínus uhla <ASX:

Zistili sme teda, že sínus uhla <ASX sa rovná y a kosínus uhla <ASX sa rovná x. Z toho vyplýva, že x-ová súradnica bodu určuje kosínus uhla a y-ová súradnica bodu zase sínus uhla. Teraz si ich môžeme poriadne zadefinovať:

Funkcia sínus

• hodnotou funkcie sin x je y-ová súradnica bodu x na jednotkovej kružnici
• sin  = - sin -α, z toho vyplýva, že funkcia sínus je nepárna, napríklad sin 30° = -sin (-30°)

Funkcia kosínus 

• hodnotou funkcie cos x je x-ová súradnica bodu x na jednotkovej kružnici
• cos α = cos -α,  z toho vyplýva, že funkcia kosínus je párna, napríklad cos 30° = cos (-30°)

Na obrázku je jednotková kružnica s bodmi A-D a vysvetlíme si na nej určovanie sínusu a kosínusu uhlov.

Bod A
Bod A má x-ovú súradnicu 1 a y-ovú súradnicu 0. Ramená tohto uhla zvierajú 0°. Podľa súradníc bodu na jednotkovej kružnici vieme určiť sínus a kosínus tohto uhla.

1. Sínus -> keďže y-ová súradnica (1) je sínus, tým pádom sin 0° = 0
2. Kosínus -> keďže x-ová súradnica (0) je kosínus, tým pádom cos 0° = 1

Bod B
Postupujeme ako pri bode A, ale s rozdielom, že teraz ramená uhla zvierajú nie 0°, ale 90°.

1. Sínus -> sin 90° = 1 alebo sin ½ π = 1
2. Kosínus -> cos 90° = 0 alebo sin ½ π = 0

Bod C

1. Sínus -> sin 180° = 0 alebo sin π = 0
2. Kosínus -> cos 180° = -1 alebo sin π = -1

Bod D

1. Sínus -> sin 270° = -1 alebo sin 3/2 π = -1
2. Kosínus -> cos 270° = 0 alebo sin 3/2 π = 0
    

Sínusy a kosínusy významných bodov na jednotkovej kružnici

α = ⅙  π
sin ⅙ π = sin 30°
Pri zisťovaní sínusu a kosínusu uhla s veľkosťou ⅙ π si pomôžeme obrázkom.

Trojuholník SYX je rovnoramenný a keďže uhol <XSY je 60°, tak je aj rovnostranný. Z toho vyplýva, že všetky strany trojuholníka sú rovnako veľké ako polomer kružnice, čiže aj veľkosť úsečky XY je 1. Tým pádom y-ová súradnica bodu X je ½, čiže sin ⅙ π = ½ .

cos ⅙ π = cos 30°
Keďže poznáme dve strany pravouhlého trojuholníka, tretiu s dĺžkou cos ⅙ π (výšku rovnostranného trojuholníka) si vypočítame pytagorovou vetou. 

α = ¼ π
sin ¼ π = sin 45°
Aj pri zisťovaní sínusu a kosínusu uhla s veľkosťou ¼ π si pomôžeme obrázkom.

Trojuholník SYX je pravouhlý rovnoramenný, lebo ¼ π je 45°, čiže aj tretí uhol v trojuholníku je 45°. Pomocou pytagorovej vety vypočítame dĺžku strany XY.

Výsledok ešte upravíme aby sme nemali iracionálne číslo v menovateli tak, že ho rozšírime vhodnou jednotkou.

cos ¼ π = cos 45°
Trojuholník je rovnoramenný, čiže sin ¼ π = cos ¼ π. Z toho vyplýva:

α = ⅓ π
sin ⅓ π = sin 60°
Znova začneme nákresom pre lepšie pochopenie.

Trojuholník je rovnostranný. Stačí keď vypočítame dĺžku jeho výšky pomocou pytagorovej vety.

cos ⅓ π = cos 60°
Kosínus 60° je polovica zo strany rovnostranného trojuholníku. Keďže strana tohto trojuholníka je polomer jednotkovej kružnice, tak cos 60° = ½. 

Tabuľka zistených sínusov a kosínusov

Teraz si ukážeme ako tieto uhly využívame pri určovaní sínusov a kosínusov vybraných uhlov na jednotkovej kružnici.

Ukážeme si to na príkladoch s uhlami s veľkosťami ⅔ π a 5/4 π.

Bodkované čiary nám pomohli. Vieme, že x-ová os je kosínus uhla a y-ová os je sínus uhla, čiže ich vieme jednoducho určiť:

K:

L: 

Takto vieme jednoducho určiť sínus a kosínus veľa uhlov pomocou jednotkovej kružnice.

Vzťah medzi funkciami sínus a kosínus

Keďže trojuholník je pravouhlý, môžeme použiť pytagorovu vetu a vyjde nám vzťah:

PV:
r² = (cos x)² + (sin x)²
1 = cos² x + sin² x

Pozor!
Umocnený kosínus a sínus nezapisujeme ako cos x² (pri tomto zápise je umocnený na druhú len uhol, nie celá goniometrická funkcia), ale (cos x)² alebo cos² x.

Príklady s funkciami sínus a kosínus nájdeš v riešených úlohách.