Graf a vlastnosti funkcie kotangens

Autor: @hyperbola

Keď vieme ako zistiť hodnoty funkcie kotangens na jednotkovej kružnici, môžeme body v radiánoch preniesť z jednotkovej kružnice na priamku - na os x v pravouhlej súradnicovej sústave. Hodnoty f(x) nanesieme na os y.

 

Táto funkcia sa nazýva aj kotangentoida a bodmi (na intervale <0; 2π>), v ktorých nie je definovaná (π a 2π) prechádzajú asymptoty kolmé na os x. K asymptotám sa graf funkcie stále približuje ale nikdy ich nepretne. Teraz si určíme jej vlastnosti.

Definíčný obor
Df = R - {π + kπ}; k ∈ Z

Obor hodnôt 
Hf = R

Prostosť
Funkcia f nie je prostá, čiže nie je ani rýdzo monotónna. Z toho vyplýva, že k nej neexistuje inverzná funkcia. Ale keby určujeme prostosť len na jednej perióde, čiže napríklad ∀ x ∈ (0; π), vtedy by sme ju mohli nazvať prostou.

Periodickosť 
Je periodická s najmenšou periódou p = π.

Parita
Funkcia je nepárna, ale nie je párna, teda platí, že cotan (-x) = - cotan x.

Monotónnosť
Ako pri sinusoide alebo kosínusoide, tiež sa musíme rozhodnúť, či ideme určovať monotónnosť pre celý definičný obor funkcie alebo len pre jednu periódu.

  1. Monotónnosť pre celý Df :
    ∀ x ⋲ < kπ;  π + kπ >k ⋲ Z f klesá
  2. ∀ x ∈ (0; π):
    ∀ x ⋲ < 0;  π >  f klesá

Pozor!
Aj keď funkcia kotangens nikdy nerastie, nemôžeme povedať, že rastie na celom svojom definičnom obore.

Priesečníky

  1. Priesečník s osou y nemá -> ∄ Py 
  2. Priesečníkov s osou x má funkcia nekonečne veľa, čiže to zapíšeme pomocou periódy ->Px = [½ π + kπ; 0]; k ∈ Z.

Ohraničenosť
Funkcia f nie je ohraničená, ani zdola, ani zhora.

Extrémy
Funkcia f nemá extrémy.

Zložená funkcia tangens
Pri kotangenoidách funguje frekvencia a posuny po osiach fungujú úplne rovnako ako pri sínusoidách, kosínusoidách alebo tangenoidách. Výnimku bude mať iba amplitúda. Ak ešte nepoznáš tieto pojmy, pozri tento link Hyperbola - graf a vlastnosti funkcie sínus .

Amplitúda
Keďže obor hodnôt funkcie kotangens sú všetky reálne čísla (R), tak amplitúdu neurčujeme, lebo vždy funkcia pôjde “do nekonečna”.

Frekvencia
Na obrázku sú funkcie f2: y = cotan 2x, ktorá má dvojnásobnú frekvenciu ako f1: y = cotan x.

 

Ako si môžeme všimnúť, funkcia f1 má periódu π a funkcia f2 iba ½ π. Týmto sme potvrdili, že funkcia f2 má dvojnásobnú frekvenciu ako f1.

Aj v tomto prípade môžeme x násobiť záporným číslom. Máme funkcie f1: y = cotan x a f2: y = cotan -x. Tieto funkcie budú navzájom opačné.

 

Posun po osiach súradnicovej sústavy
Funkciu môžeme posúvať zvislo podľa osi y alebo vodorovne podľa osi x. 

1.Posun podľa osi y
Funkciu posúva po osi y číslo, ktoré pripočítame k celému predpisu funkcie. Napríklad funkcia f2: y = cotan x + 2 je posunutá a 2 dieliky hore oproti funkcii f1: y = cotan x. Ukážeme si to graficky znázornené na nasledujúcom obrázku.
 

2. Posun podľa osi x
Funkciu posúva po osi x číslo, ktoré pripočítame k x-u v kotangense. Napríklad funkcia f2: y = cotan (x + ½ π) je posunutá a π dielikov doľava oproti funkcii f1: y = cotan x. Ukážeme si to graficky znázornené na nasledujúcom obrázku.
 

Zhrnutie
Predpis funkcie kosínus je f: y = cotan (bx + d) + c; kde

  1. b určuje frekvenciu
  2. c posúva funkciu podľa osi y
  3. d posúva funkciu podľa osi x

Pozor!
Pri zložených funkciách musíme dávať pozor pri posunoch funkcie, ak máme zadanú inú frekvenicu ako 1. Napríklad, keď máme funkciu f: y = cotan (2x +π), tak ju doľava posúvame len o ½ π, nie o celé π, lebo 2x + π = 2(x +½ π)

Riešené príklady

Riešený príklad 1

Vyšetri funkciu f: y = cotan(2x) a načrtni jej graf.

Riešenie

Pri náčrte grafu si pomôžeme pomocnou funkciou.

f1: y = cotan x
f: y = cotan(2x)

 

Vlastnosti:

Definičný obor: Df = R - {π + kπ};  k ∈ Z

Obor hodnôt: Hf = R

Prostosť: 
Funkcia f nie je prostá, čiže nie je rýdzo monotónna a z toho vyplýva, že nemá ani inverznú funkciu

Periodickosť: 
Funkcia f je periodická; p = ½ π, lebo na úseku π sa zopakuje 2-krát

Parita: 
Funkcia f je nepárna, lebo je súmerná podľa bodu [0; 0].
Funkcia f nie je párna, lebo nie je súmerná ani podľa osi y.

Ohraničenosť a extrémy: 
Funkcia f nie je ohraničená ani zdola, ani zhora a nemá extrémy.

Monotónnosť: 
Ak x ⋲ <0 ; π >: ∀ x ⋲ <0 ; π > f klesá

Priesečníky:
Funkcia nemá Py -> ∄ Py 
Px tiež vieme odčítať z grafu, ale ten už zapíšeme pomocou periódy -> Px = [½ π + kπ; 0]k ⋲ Z

Odpoveď

  • Df = R - {π + kπ};  k ∈ Z
  • Hf = R
  • nie je prostá, čiže nie je rýdzo monotónna a z toho vyplýva, že nemá ani inverznú funkciu
  • je periodická; p = ½ π, lebo na úseku π sa zopakuje 2-krát
  • je nepárna
  • nie je párna
  • nie je ohraničená ani zdola, ani zhora a nemá extrémy.
  • Ak x ⋲ <0 ; π >: ∀ x ⋲ <0 ; π > f klesá
  • ∄ Py 
  • Px = [½ π + kπ; 0]k ⋲ Z