Graf a vlastnosti funkcie sínus

Keď vieme, ako zistiť hodnoty funkcie sínus na jednotkovej kružnici, môžeme body v radiánoch preniesť z jednotkovej kružnice na priamku - na os x v pravouhlej súradnicovej sústave. Hodnoty f(x) nanesieme na os y.

Táto funkcia sa nazýva aj sínusoida. Teraz si určíme jej vlastnosti.

Definíčný obor
D_f = R

Obor hodnôt 
H_f = < -1; 1 >

Prostosť
Funkcia f nie je prostá, čiže nie je ani rýdzo monotónna. Z toho vyplýva, že k nej neexistuje inverzná funkcia.

Periodickosť 
Funkcia f je periodická, takže musíme určit periódu. Perióda je zjednodušene opakujúca sa časť funkcie. Funkcia f má periódu 2π, lebo po úseku dlhom 2π sa opakuje. Zapíšeme to p = 2π.

Parita
Funkcia nie je párna, ale je nepárna, teda platí, že sin (-x) = -sin x.

Monotónnosť
V tomto momente sa musíme rozhodnúť, či ideme určovať monotónnosť pre celý definičný obor funkcie alebo len pre jednu periódu, napríklad, keď x ⋲ <0; 2π>. 

1. Keď určujeme monotónnosť pre celý definičný obor funkcie, musíme ho zapísať aj s periódou (rovnako ako keď zapisujeme koreň rovnice s periódou).
   ∀ x ⋲ < -½π + 2kπ;  ½π + 2kπ >_{k ⋲ Z} f rastie
   ∀ x ⋲ < ½π + 2kπ;  3/2 π + 2kπ >_{k ⋲ Z} f klesá
   
    
2. Monotónnosť môžeme určiť aj na vybranom intervale. Ak x ⋲ <0; 2π>, tak monotónnosť nemusíme zapisovať s periódou:
   ∀ x ⋲ < 0;  ½π >  U < 3/2π; 2π > f rastie
   ∀ x ⋲ < ½ π;  3/2 π + 2kπ > f klesá

Priesečníky

1. Priesečník s osou y má funkcia iba jeden -> P_y = [0; 0]
2. Priesečníkov s osou x má funkcia nekonečne veľa. Určiť všetky by bolo nadlho, preto si pomôžeme periódou. Všimneme si, že priesečníky s osou x sú od seba vzdialené π. Zapíšeme to P_x = [πk; 0]_{k ⋲ Z} .

Ohraničenosť
Funkcia f je ohraničená, zdola číslom d = -1 a zhora číslom h = 1. 

Extrémy
Ako pri monotónnosti, aj pri extrémoch sa musíme rozhodnúť, či ich budeme určovať na celom D_f alebo len vo vybranom intervale.

1. Na celom definičnom obore funkcie určujeme extrémy pomocou periódy. Pre funkciu f ich zapíšeme ∃ MIN = [½π + 2kπ; -1]_{k ⋲ Z} a ∃ MAX = [3/2π + 2kπ; 1]_{k ⋲ Z}.
2. Ak x ⋲ <0; 2π>, tak periódu pri určovaní nepotrebujeme. Pre funkciu f ich zapíšeme ∃ MIN = [½π; -1] a ∃ MAX = [3/2π; 1].

Zložená funkcia sínus

Amplitúda
Amplitúda je maximálna výchylka alebo maximálna hodnota nejakej periodickej funkcie. Zjednodušene povedané do akej výšky stúpa a do akej hĺbky klesá funkcia. Amplitúdu funkcie určuje číslo, ktorým je sínus vynásobený, čiže funkcia y = 2 sin x má 2-násobnú amplitúdu alebo funkcia y = ½ sin x má polovičnú amplitúdu. Na nasledujúcom obrázku si ukážeme tieto funkcie graficky znázornené. 

Číslo, ktorým násobíme sínus, môže byť aj záporné. Máme dve funkcie f₁ : y = 2 sin x a f₂ : y = -2 sin x. Tieto funkcie budú navzájom opačné, čiže napríklad funkcia f₂ bude rovnaká ako funkcia f₁, ale preklopená pod os x.

Frekvencia
Frekvencia udáva počet opakovaní periodickej funkcie. Frekvenciu funkcie určuje číslo, ktorým je vynásobené x. Napríklad funkcia f₂: y = sin 2x má dvojnásobnú frekvenciu ako f₁: y = sin x. Teraz si to ukážeme graficky znázornené.

Ako si môžeme všimnúť, funkcia f₁ má periódu 2π a funkcia f₂ iba π. Týmto sme potvrdili, že funkcia f₂ má dvojnásobnú frekvenciu ako f₁, lebo na úseku 2π sa zopakuje dvakrát, zatiaľ čo funkcia f₁ iba raz.

Aj v tomto prípade môžeme x násobiť aj záporným číslom. Princíp je rovnaký ako pri amplitúde. Napríklad funkcie f₁: y = sin 2x a f₂: y = -2x sú si navzájom opačné.

Posun po osiach súradnicovej sústavy
Funkciu môžeme posúvať zvislo podľa osi y alebo vodorovne podľa osi x. 

1.Posun podľa osi y
Funkciu posúva po osi y číslo, ktoré pripočítame k celému predpisu funkcie. Napríklad funkcia f₂: y = sin x + 2 je posunutá a 2 dieliky hore oproti funkcii f₁: y = sin x. Ukážeme si to graficky znázornené na nasledujúcom obrázku.
 

2. Posun podľa osi x
Funkciu posúva po osi x číslo, ktoré pripočítame k x-u v sínuse. Napríklad funkcia f₂: y = sin (x + π) je posunutá a π dielikov doľava oproti funkcii f₁: y = sin x.
K x-u môžme číslo pripočítať alebo odpočítať:

1. keď v sínuse od x-u odpočítame → funkcia sa posunie doprava
2. keď v sínuse od x-u pripočítame → funkcia sa posunie doľava

Funkciu f si ukážeme graficky znázornenú na nasledujúcom obrázku.
 

Zhrnutie
Predpis funkcie sínus je f: y = a sin (bx + d) + c; kde

1. a určuje amplitúdu
2. b určuje frekvenciu
3. c posúva funkciu podľa osi y
4. d posúva funkciu podľa osi x

Pozor!
Pri zložených funkciách musíme dávať pozor pri posunoch funkcie, ak máme zadanú inú frekvenicu ako 1. Napríklad, keď máme funkciu f: y = 2 sin (2x +π), tak ju doľava posúvame len o ½ π, nie o celé π.