Graf a vlastnosti funkcie kosínus

Autor: @hyperbola

Keď vieme, ako zistiť hodnoty funkcie kosínus na jednotkovej kružnici, môžeme body v radiánoch preniesť z jednotkovej kružnice na priamku - na os x v pravouhlej súradnicovej sústave. Hodnoty f(x) nanesieme na os y.

Táto funkcia sa nazýva aj kosínusoida. Je to vlastne sínusoida, len posunutá o ½π vľavo, čiže y = cos x je to isté ako y = sin (x + ½ π) . Teraz si určíme jej vlastnosti.

Definíčný obor
Df = R

Obor hodnôt 
Hf = < -1; 1 >

Prostosť
Funkcia f nie je prostá, čiže nie je ani rýdzo monotónna. Z toho vyplýva, že k nej neexistuje inverzná funkcia.

Periodickosť 
Ako sínusoida, aj kosínusoida je periodická a funkcia f má periódu p = 2π.

Parita
Funkcia nie je nepárna, ale je párna, teda platí, že cos (-x) = cos x.

Monotónnosť
Ako pri sínusoide, tiež sa musíme rozhodnúť, či ideme určovať monotónnosť pre celý definičný obor funkcie alebo len pre jednu periódu.

  1. Monotónnosť pre celý Df :
    ∀ x ⋲ < π + 2kπ;  2π + 2kπ >k ⋲ Z f rastie
    ∀ x ⋲ < 2kπ; π + 2kπ >k ⋲ Z f klesá
  2. Ak x ⋲ <0; 2π>:
    ∀ x ⋲ < π;  2π > f rastie
    ∀ x ⋲ < 2kπ;  2π > f klesá

Priesečníky

  1. Priesečník s osou y má funkcia iba jeden -> Py = [0; 1]
  2. Priesečníkov s osou x má funkcia nekonečne veľa, čiže to zapíšeme pomocou periódy -> Px = [½π + 2π; 0].

Ohraničenosť
Funkcia f je ohraničená, zdola číslom d = -1 a zhora číslom h = 1. 

Extrémy
Ako pri monotónnosti, aj pri extrémoch sa musíme rozhodnúť, či ich budeme určovať na celom Df alebo len vo vybranom intervale.

  1. Na celom definičnom obore funkcie určujeme extrémy pomocou periódy. Pre funkciu f ich zapíšeme ∃ MAX = [2kπ; -1]k ⋲ Z a ∃ MIN = [π + 2kπ; 1]k ⋲ Z.
  2. Ak x ⋲ <0; 2π>, tak periódu pri určovaní nepotrebujeme. Pre funkciu f ich zapíšeme ∃ MIN = [π; -1] a ∃ MAX = [2π; 1].

Zložená funkcia kosínus
Keďže kosínusoida je len posunutá sínusoida, amplitúda, frekvencia a posuny po osiach fungujú úplne rovnako. Ak ešte nepoznáš tieto pojmy, pozri tento link Hyperbola - graf a vlastnosti funkcie sínus . 

Amplitúda
Na nasledujúcom obrázku si ukážeme funkcie f1: y = cos x a f2: y = 2cos x graficky znázornené. 

Číslo, ktorým násobíme kosínus, môže byť aj záporné. Máme dve funkcie f1 : y = 2 cos x a f2 : y = -2 cos x. Tieto funkcie budú tiež navzájom opačné.

Frekvencia
Na obrázku sú funkcie f2: y = cos 2x má dvojnásobnú frekvenciu ako f1: y = cos x.

Ako si môžeme všimnúť, funkcia f1 má periódu 2π a funkcia f2 iba π. Týmto sme potvrdili, že funkcia f2 má dvojnásobnú frekvenciu ako f1.

Aj v tomto prípade môžeme x násobiť záporným číslom. Máme funkcie f1: y = cos 2x a f2: y = cos -2x. Tieto funkcie nebudú navzájom opačné, ale budú totožné. Dôvod je jednoduchý. Funkcia kosínus je párna, čiže platí, že cos x = cos (-x) a z toho vyplýva, že aj cos 2x = cos (-2x).

Posun po osiach súradnicovej sústavy
Funkciu môžeme posúvať zvislo podľa osi y alebo vodorovne podľa osi x. 

Posun podľa osi y
Funkciu posúva po osi y číslo, ktoré pripočítame k celému predpisu funkcie. Napríklad funkcia f2: y = cos x + 2 je posunutá a 2 dieliky hore oproti funkcii f1: y = cos x. Ukážeme si to graficky znázornené na nasledujúcom obrázku.

Posun podľa osi x
Funkciu posúva po osi x číslo, ktoré pripočítame k x-u v kosínuse. Napríklad funkcia f2: y = cos (x + π) je posunutá o π dielikov doľava oproti funkcii f1: y = cos x. Ukážeme si to graficky znázornené na nasledujúcom obrázku.

Zhrnutie
Predpis funkcie kosínus je f: y = a cos (bx + d) + c; kde

  1. a určuje amplitúdu
  2. b určuje frekvenciu
  3. c posúva funkciu podľa osi y
  4. d posúva funkciu podľa osi x

Pozor!
Pri zložených funkciách musíme dávať pozor pri posunoch funkcie, ak máme zadanú inú frekvenicu ako 1. Napríklad, keď máme funkciu f: y = 2 cos (2x +π), tak ju doľava posúvame len o ½ π, nie o celé π.

Riešené príklady

Riešený príklad 1

Vyšetri funkciu f: y = -2 cos(2x) a načrtni jej graf.

Riešenie

Pri náčrte grafu si pomôžeme viacerými pomocnými funkciami.

f1: y = cos x
f2: y = -2cos(x)
f3 y = cos(2x)

Na záver pomocou týchto funkcií načtrneme graf funkcie f.

Vlastnosti:

Definičný obor: Df = R

Obor hodnôt: Hf = < -2; 2 >

Prostosť: 
Funkcia f nie je prostá, čiže nie je rýdzo monotónna a z toho vyplýva, že nemá ani inverznú funkciu

Periodickosť: 
Funkcia f je periodická; p = π, lebo na úseku 2π sa zopakuje 2-krát

Parita: 
Funkcia f nie je nepárna, lebo nie je podľa bodu [0; 0].
Funkcia f je párna, lebo je súmerná ani podľa osi y.

Ohraničenosť a extrémy: 
Funkcia f je ohraničená zdola číslom d = -2 a zhora číslom h = 2.

Extrémy na celom Df:

  1. minimum vieme určiť pomocou výpočtov a odčítania z grafu -> ∃ MIN = [πk; -2]k ⋲ Z
  2. maximum si vieme tiež odčítať z grafu -> ∃ MAX = [½π + kπ; 2]k ⋲ Z

Monotónnosť: 
Ak x ⋲ <0; π >:
∀ x ⋲ < 0;  ½π > f rastie
∀ x ⋲ < ½π;  2π > f klesá

Priesečníky:
Py je jednodúchý, je len jeden a vieme ho ľahko odčítať z grafu -> Py = [0; -2]
Px tiež vieme odčítať z grafu, ale ten už zapíšeme pomocou periódy -> Px = [¼π + ½πk; 0]k ⋲ Z

Odpoveď

  • Df = R
  • Hf = < -2; 2 >
  • funkcia f nie je prostá => nemá inverznú funkciu
  • je periodická; p = π
  • f nie je nepárna
  • f je párna
  • f je ohraničená zdola číslom d = -2 a zhora číslom h = 2.
  • ∃ MIN = [πk; -2]k ⋲ Z
  • ∃ MAX = [½π + kπ; 2]k ⋲ Z
  • Ak x ⋲ <0; π >:
    • ∀ x ⋲ < 0;  ½π > f rastie
    • ∀ x ⋲ < ½π;  2π > f klesá
  • Py = [0; -2]
  • Px = [¼π + ½πk; 0]k ⋲ Z