Funkcie sínus a kosínus - riešenie rovníc

Je daný uhol α, pre ktorý platí, že sin α je ⅗ . Vypočítajte jeho kosínus a uhol znázornite na jednotkovej kružnici.

Pre lepšie pochopenie si najprv uhol znázorníme na jednotkovej kružnici:
 

Vidíme, že sme vyznačili dva uhly a to preto, lebo aj bod X₁ aj X₂ majú hodnotu sínusu ⅗ .

Máme vypočítať kosínus uhlu, ktorého sínus je ⅗ . Znázornené na jednotkovej kružnici to vyzerá nasledovne:
 

Keďže oba trojuholníky sú pravouhlé, môžeme použiť pytagorovu vetu.

cos α₁ = ⅘ 
cos α₂ = - ⅘

Riešte rovnicu sin x = ½ v R.

Najprv si znázorníme uhly na jednotkovej kružnici.

Pomocou jednotkovej kružnice vieme jednoducho určiť uhol daného sínusu, lebo sínus ½ patrí jednému z význačných uhlov a to je 30° (to isté ako ⅙ π). Prvá alfa je v prvom kvadrante, čiže jej veľkosť je 30° a druhá alfa je v druhom kvadrante, čiže jej veľkosť je 150° (to isté ako ⅚ π). Výpočet vyzerá nasledovne: 

2kπ pridávame k výsledkom preto, lebo počítame v množine celých čísel a nevieme koľko celých otočiek uhol obsahuje (ak máme výsledok v stupňoch pripisujeme k • 360°). Keďže máme v koreni rovnice neznámu k, za ktorú nemôžeme dosadiť všetky čísla z R, musíme napísať do akej k množiny patrí. To píšeme dolným indexom za množinovými zátvorkami.

Najprv si znázorníme uhly na jednotkovej kružnici.

K = {225° + 360° • k; 315° + 360° • k} _{k Є Z}

K = {225° + 360° • k; 315° + 360° • k} _{k Є Z}

Najprv si znázorníme uhly na jednotkovej kružnici.

Nemôžeme zabudnúť na resubstitúciu.

K = {35° + 120° • k; 125° + 120° • k} _{k Є Z} ; ale dá sa to zapísať aj ako K = {35° + 120° • k; 5° + 120° • k} k Є Z ; keďže 120° môžeme zahrnúť do periódy. 

K = {35° + 120° • k; 125° + 125° • k} _{k Є Z}   alebo K = {35° + 120° • k; 5° + 125° • k}

Vypočítajte rovnicu 2 sin² x - cos² x - 4 sin x + 2 = 0  v R.

Najprv si pomocou pytagorovej vety vypočítame čomu sa rovná cos² x.

PV: 
sin² x + cos² x = 1 => cos² x = 1 - sin² x

Teraz  1 - sin² x dosadíme do pôvodnej rovnice za cos² x a posčitujeme čo sa dá:
 

Dostali sme kvadratickú rovnicu v základnom tvare. Na jej výpočet použijeme substituciu:

Klasicky vypočítame kvadratickú rovnicu (ak nevieš ako sa počítajú kvadratické rovnice, nájdeš ich na tomto linku Hyperbola - kvadratické rovnice).

3 a² - 4a + 1 = 0

D = b² - 4ac = 16 - 12 = 4

Teraz môžeme resubstituovať:

Resub.:
1. sin x = 1 => x₁ = 90° + k • 360°
2. sin x = ⅓ => x₂ ≐ 19° 28´ + k • 360° 

Ale táto rovnica má ešte jedno riešenie. Ukážeme si to na jednotkovej kružnici.
 

sin x = ⅓ => x₃ ≐ 180° - 19° 28´ + k • 360° = 160° 32´ + k • 360° 

Na záver zapíšeme koreň rovnice:
K = {90° + k • 360°; 19° 28´ + k • 360° ; 160° 32´ + k • 360° } _{k Є Z}

K = {90° + k • 360°; 19° 28´ + k • 360° ; 160° 32´ + k • 360° } _{k Є Z}