Kvadratické rovnice

Autor: @hyperbola

Je daná rovnicou ax2 + bx + c= 0, kde:

  • ax2 je kvadratický člen
  • bx lineárny člen
  • c absolútny člen
  • a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice z množiny reálnych čísel 

Aby kvadratická rovnica bola kvadratickou rovnicou, musí obsahovať kvadratický člen, ostatné nemusí. Preto kvadratické rovnice delíme na:

  1. neúplné
  2. úplné 

Neúplné
Najprv si ideme povedať o neúplných. Neúplná kvadratická rovnica je rovnica, ktorá určite obsahuje kvadratický člen, ale ostatné členy nemá kompletné. Preto poznáme 3 druhy neúplných kvadratických rovníc:

  • ax2=0,  (a, b = 0)
  • ax2 + c = 0, (b = 0)
  • ax2 + bx = 0, (c = 0)

ax2=0 (a,b = 0) je najľahšia kvadratická rovnica. Pri jej počítaní využívame najčastejšie geometrickú definíciu absolútnej hodnoty. Príklad: 

Absolútnu hodnotu používame preto, lebo keď odmocňujeme nejaké číslo v rovnici. Musíme rátať s tým, že to môže byť kladné, ale aj záporné číslo. (napr. odmocnina z 4 môže byť 2, ale aj -2!!!)

rovnica ax2+c=0 (b=0) sa nazýva aj ako rýdzokvadratická rovnica. Vieme ju vyriešiť 2 spôsobmi, a to buď absolútnou hodnotou alebo rozkladom na súčin. Príklady na počítanie s absolútnou hodnotou:

Pozor, pozor, pozor!!!

Také x z reálnych čísel neexistuje, aby sa x2 = záporné číslo. x2, ak je z reálnych čísel, vždy musí byť 0 !!! Preto táto rovnica nemá riešenie, K=∅.

Ďalší príklad s absolútnou hodnotou:

Teraz ideme počítať rovnicu x2 - 4 = 0 cez rozklad na súčin, využívame pri tom vzorec a2-b2=(a+b).(a-b)

Všeobecne vieme vypočítať rýdzokvadratickú rovnicu takýmto spôsobom:

V prípade rovnice ax2+bx=0 (c=0) využívame to, že si výjmeme x pred zátvorku. Príklad:

x2 + 3x = 0

x.(x+3) = 0

Aby sa ľavá strana rovnala 0, musí sa buď x rovnať nule, alebo výraz x+3 sa musí rovnať nule, pretože keď násobíme nulou, tak nám vždy výjde nula.

Úplné kvadratické rovnice
Preriešili sme teda teda všetky druhy neúplných kvadratických rovníc a môžeme teda prejsť na riešenie úplnej kvadratickej funkcie ax2+bx+c=0. Počítame ju najčastejšie cez doplnenie na úplný štvorec (a potom buď cez absolútnu hodnotu alebo rozklad na súčín), alebo cez rozklad na súčin alebo vzorec.

Doplnenie na úplný štvorec 

Teraz to môžeme dopočítať cez absolútnu hodnotu alebo cez rozklad na súčin.

Absolútna hodnota:

                                           

K=4;6

Rozklad na súčin:

Existuje ale aj nejaká spojitosť medzi x2-10x+24=0 a jej súčinmi (x-4).(x-6)=0. Poďme si to ukázať.

(x - 4).(x - 6) = 0, zátvorky si ideme roznásobiť.
(x - 4).(x - 6) = x2 - 6x - 4x + (-4).(-6) =  x2 - 10x + 24

Koeficient -10 (koeficient b) v rovnici x2 - 10x + 24 = 0 je súčet hodnôt v zátvorkách (x-4).(x-6).
Koeficient +24 (koeficient c) v rovnici x2 - 10x + 24 = 0 je súčin hodnôt v zátvorkách (x-4).(x-6)

Už teda nemusíme rovnicu najprv dopľňať na úplný štvorec, aj keď, samozrejme sú prípady, kedy to je nevyhnutné

Počítanie cez vzorec
Pri počítaní úplnej kvadratickej rovnice poznáme taktiež elegantný vzorec, ktorý môžeme využívať. Odvádza sa od základnej rovnice ax2+bx+c=0.

Úprava:

            

Tento vzorec platí pre všetky úplné kvadratické rovnice, ale samozrejme, môže mať rozdielne výsledky a dokonca aj rozdielny počet výsledkov, to závisí od diskriminantu. Diskriminant je časť tohto vzorca, a to konkrétne b2-4ac (nachádza sa pod odmocninou). Značí sa veľkým D.

Výsledok diskriminantu:

Ak D < 0, kvadratická rovnica nemá riešenie, pretože v množine reálnych čísel NIKDY neodmocňujeme záporné číslo párnou odmocninou!!!. 
Ak D = 0, potom má rovnica 1 riešenie, a to x=-b2a, to sa dá zo vzorca vyjadriť, pretožnám odmocnina dotiaľ vypadáva. 
Ak je D > 0, potom má kvadratická rovnica 2 riešenia. 

Ideme si vzorec vyskúšať na rovnici x2 - 24x + 140:

V kvadratickej rovnici poznáme taktiež súvis medzi týmito výsledkami x1 a x2. Chceme teda poznať x1 + x2 , ak a = 1, potom počítame:

Vieme teda, že x1 + x2 sa rovná –b, čomu sa ale rovná x1 . x2? (ak sa a=1)       

Podľa vzorcu (a+b).(a-b) = a2 - b2

Vieme teda, že x1.x2 sa rovná c.

Takže vietove vzťahy sú tieto (ak sa a = 1):

x1 + x2 = -b
x1 . x2 = c

Na základe týchto vzťahov vieme vypočítať aj predpisy kvadratickej funkcie, musíme ale poznať:

  • Korene, koeficient a
  • Korene a nejaký 1 koeficient
  • Poznáme buď 2 body a 1 koeficient, alebo 3 body