Pravidlá logaritmovania

Pri logaritmovaní, čiže počítaní s logaritmami, platí pár pravidiel. Každé si najprv zadefinujeme a následne dokážeme.

1. Prvé pravidlo logaritmovania znie:

a^{log_a x} = x

Dôkaz: 
Celý exponent si pomenujeme y, čiže log_a x = y. Z tohto logaritmu vyplýva, že keď a umocníme na y-tú vyjde nám x. Následne z tohto vzťahu odvodíme logaritmus pre exponent y: 

a^y = x ⇔ log_a x = y

Keď si do vzťahu a^y = x dosadíme namiesto y-nu log_a x, tak nám vyjde, že a^{loga x} = x. Prvé pravidlo máme dokázané.
 

2. Druhé pravidlo logaritmovania sa týka súčtu logaritmov s rovnakými základmi. Znie logaritmus súčinu dvoch čísel sa rovná súčtu ich logaritmov pri rovnakom základe. Najprv si túto definíciu napíšeme matematicky:

log_a (x・y) = log_a x + log_a y

Dôkaz:
Najprv si vyjadríme (x・y) z ľavej strany rovnice. Čiže prvý riadok dôkazu bude vyzerať nasledovne:

x ・y = a^{log_a x + log_a y}  

Následne na pravej strane použijeme pravidlo o sčitovaní exponentov (nájdeš ho tu Mocniny a odmocniny · Hyperbola):

x ・y = a^log_a x ・a^log_a y  

Teraz použijeme prvé pravidlo logaritmovania na pravú stranu rovnice:

x ・y = x ・y

Keďže ľavá strana rovnice sa rovná pravej, druhé pravidlo máme dokázané.
 

3. Tretie pravidlo logaritmovania je podobné druhému pravidlu, ale týka sa rozdielu logaritmov s rovnakými základmi. Znie: Logaritmus podielu dvoch čísel sa rovná rozdielu ich logaritmov pri rovnakom základe. Ako pri každom pravidle, najprv si ho napíšeme matematicky:

log_a (x : y) = log_a x - log_a y

Dôkaz:
Postup bude podobný ako pri predošlom pravidle. Najprv si z rovnice vyjadríme (x : y):

x : y = a^{log_a x - log_a y} 

Teraz na pravej strane rovnice využijeme pravidlo o rozdiele exponentov (pravidlo nájdeš tu: Mocniny a odmocniny · Hyperbola):

x  : y = a^log_a x  :  a^log_a y

Následne použijeme prvé pravidlo logaritmovania:

x : y = x : y

Práve sme dokázali ďalšie pravidlo.
 

4. Štvrté pravidlo logaritmovania sa týka exponentov a matematicky ho zapíšeme takto:

log_a x^r = r・log_a x

Dôkaz:
Najprv si rozpíšeme ľavú stranu rovnice:

log_a x^r = log_a (x・x・x・...・x) 

Dá sa povedať, že v zátvorke je r počet x-ov. Keď použijeme pravidlo o súčte 2 logaritmov s rovnakými základmi, vieme rovnicu prepísať:

log_a x^r = log_a (x・x・x・...・x) = log_a x + log_a x + … + log_a x

Keďže počet log_a x je r, tak pravidlo je potvrdené.
 

5. Piate pravidlo logaritmovania sa týka argumentu a základu logaritmu a vyzerá nasledovne:

Dôkaz:
Začneme počítať ako klasickú rovnicu, snažíme sa zbaviť zlomku, čiže celú rovnicu vynásobíme menovateľom.

Rovnicu ďalej upravíme pomocou 4. pravidla logaritmovania. Z log_a x spravíme exponent druhému logaritmu.
         
log_x a ^{log_a x}  = 1

V ďalšom kroku použijeme 1. pravidlo a vyjde nám:

log_x x = 1

Následne si uvedomíme, že log_x x je 1, lebo x¹ = x a vyjde nám:

1 = 1

Keďže ľavá a pravá strana rovnice sa rovnajú, pravidlo máme dokázané.

6. Posledné pravidlo nám pomáha ľahšie vypočítať logaritmus na kalkulačke. Pomocou tohto pravidla vieme previesť každý   logaritmus na podiel dvoch logaritmov s ľubovoľným, ale rovnakým základom. Niektoré kalkulačky vedia počítať len dekadický a prirodzený logaritmus a využitím tohto pravidla  vypočítame hocijaký logaritmus aj pomocou kalkulačky.

Dôkaz:
Ako prvé sa znova zbavíme zlomku, čiže celú rovnicu vynásobíme menovateľom.

Následne použijeme štvrté pravidlo o exponente logaritmu:

log_a x^{logx y} = log_a y

Na záver uplatníme prvé pravidlo na exponent logaritmu na ľavej strane rovnice:

log_a y = log_a y

Keďže sa nám ľavá a pravá strana rovnice rovnajú, pravidlo môžeme považovať za dokázané.