Logaritmické funkcie

Pre pochopenie tohto výkladu si najprv prečítajte výklad o logaritmoch samotných.
Každá inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii sa nazýva logaritmická funkcia. Jej grafom je logaritmická krivka.
Vieme, že exponenciálna funkcia je každá funkcia f: y = a^x, kde a ∈ R⁺ - {1}. 
Môžeme si všimnúť, že logaritmická funkcia je oproti exponenciálnej “otočená o 180 stupňov”, sú teda symetrické podľa osi x.

Predpis logaritmickej funkcie je f^-1: y = log_ax, pretože vieme, že z pôvodnej funkcie f vieme urobiť logaritmus x = log_ay, a keďže v inverznej funkcii vymieňame x a y, dostaneme y = log_ax.

Vlastnosti logaritmickej funkcie

Pre funkciu f: y = log_ax platí, že:

• D_f = R⁺ všetky kladné reálne čísla
• H_f = R, aj napriek tomu, že logaritmická funkcia stúpa pomaly, stále stúpa a nie je ohraničená
• Hodnota logaritmickej funkcie v bode 1 sa rovná 0, teda prechádza bodom [1; 0]
• Jej asymptota je a₁: x = 0
• Pre každé x, y ∈ R⁺
  • Ak platí, že a > 0; a ≠ 1; x = y tak log_ax = log_ay
  • Ak platí, že a > 1; x < y tak log_ax < log_ay
  • Ak platí, že a > 0; a < 1; x < y tak log_ax > log_ay
• Funkcia nie je ani párna, ani nepárna, nie je periodická
• Funkcia je prostá a spojitá
• Funkcia nie je ohraničená
• Funkcia nemá žiadne maximum ani minimum

Či funkcia klesá alebo rastie určujeme na základe nasledujúcich pravidiel:

• Ak je základ logaritmu 0 < a < 1, vtedy je funkcia na celom svojom D_f klesajúca

• Ak základ logaritmu a > 1, vtedy je funkcia na celom svojom D_f rastúca

Graf logaritmickej funkcie

Daný je logaritmus y = log₂x. Pre tento prípad si na začiatok môžeme urobiť tabuľku a vypočítať niektoré významné body. Najprv si doplňme funkčné hodnoty. Uľahčí nám to počítanie, keďže je to ľahšie ako počítanie logaritmov so základom iným ako 10. Počítame nasledujúcu rovnicu 2 (základ) ^f(x) = x

Na základe týchto bodov si môžeme narysovať funkciu.

Vieme určiť jej nasledujúce vlastnosti

• Je rastúca - potvrdzuje graf, ale aj to, že základ logaritmu je väčší ako 1
• Prechádza bodom [1; 0]
• Jej D_f = (0, ∞) = R⁺ => pretože argument logaritmu nemôže byť záporný (pozri výklad o logaritmoch)
• Jej H_f = R
• Nie je ohraničená
• Nemá žiadne minimá ani maximá

Takto sa to síce dá, ale nie je to najefektívnejšie a ani najrýchlejšie.

Pokúsme sa teraz narysovať logaritmickú funkciu g: y = log₂ (x + 1) - 2 tentokrát však iným spôsobom. Síce ju nevieme narysovať hned na prvý pokus, môžeme sa pokúsiť narysovať pomocné funkcie. Tie si vieme určiť nasledovné:

• g₁: y = log₂ (x + 1)
• g₂: y = log₂ x

Začnime najjednoduchšou, g₂: y = log₂ x. Bez ohľadu na to, že sme si ju už cez tabuľku narysovali hore, môžeme si ju narysovať aj ľahším spôsobom.

• Vieme, že funkcia je rastúca, pretože základ logaritmu je väčší ako 1
• Tiež vieme, že bude prechádzať bodom A [1; 0]
• Druhý významný bod bude B [2; 1] => odvodíme z predpisu funkcie, 2 je základ logaritmu a 1 je vždy konštantná. Pokiaľ by sme mali napr. y = log₄x tento významný bod bude [4; 1]
• Keďže argument logaritmu je iba x, D_g2 = R⁺ a vieme, že má asymptotu a₂: x = 0, taktiež vieme, že H_f = R
• Na základe týchto vedomostí si vieme narysovať danú funkciu:

• Funkcia bude na intervale (0; 1) rásť, celkom prudko a nikdy sa nepretne s osou y, pretože ako sme si už povedali, argument logaritmu nemôže máť zápornú hodnotu, ani hodnotu rovnú 0
• Od bodu B bude funkcia ďalej tiež rásť donekonečna

Táto funkcia nám bude základom pre ďalšie pomocné funkcie až sa postupne dopracujeme k finálnej funkcii. Teraz si môžeme narysovať funkciu g₁: y = log₂ (x + 1). Toto už bude jednoduchšie. Môžeme si všimnúť, že logaritmus je skoro rovnaký, jediný rozdiel je, že k argumentu logaritmu, ktorý je vo funkcii g₂ iba x, je pripočítané číslo 1. Toto číslo bude mať na funkciu taký efekt, že sa celá posunie o 1 dielik vľavo (do mínusu). Okrem tohto bude funkcia g₁ rovnaká s funkciou g₂. Keďže už poznáme teda body funkcie g₂, od všetkých hodnôt x odpočítame číslo 1, máme aj významné body funkcie g₁ a môžeme si ju narysovať. Dostaneme takýto graf:

• Keďže je celá posunutá o 1 dielik vľavo, aj jej asymptota už nie je x = 0, ale a₁: x = -1. Jej D_g1 = (-1; ∞). Ostatné vlastnosti sú rovnaké s predošlou funkciou g₂.

Pokiaľ by miesto +1 bolo v argumente logaritmu napr. -3, funkcia by sa posunula zase vpravo o 3 dieliky (ku kladným číslam). Môžete si vyskúšať rôzne ďalšie kombinácie na portáli GeoGebra.

Od tejto funkcie už bude postup ľahký. Z lineárnych funkcií (predpis y = ax + b) vieme, že premenná b posúva graf funkcie po osi y hore a dole. Porovnajme si predpis lineárnej funkcie a predpis funkcie g: y = log₂ (x + 1) - 2. Toto isté platí pri logaritmických funkciách, v našom prípade je premenná a číslo 1, premenná x je samotný logaritmus a premenná b je číslo - 2. Z toho vyplýva, že výsledná funkcia g bude funkcia g₁ posunutá o 2 dieliky dole po osi y, teda do záporných hodnôt. Urobíme teda to isté čo pri funkcií g₁ keď sme sa ju snažili narysovať, až na to, že neposúvame funkciu o dielik vľavo, ale o 2 dieliky dole. Takto sa opäť posunú aj všetky významné body. Asymptota a D_g však zostávajú rovnaké, keďže funkciu neposúvame po osi x. H_g sa tiež nemení. Stále bude H_g = R. Môžeme si ju narysovať.

A máme výslednú funkciu! Jej vlastnosti budú:

• D_g = (-1; ∞), H_g = R
• Jej asymptota je a_g: x = -1
• Funkcia je rastúca na celom svojom D_g
• Funkcia nie je ani párna, ani nepárna, nie je periodická
• Funkcia je prostá a spojitá
• Funkcia nie je ohraničená
• Funkcia nemá žiadne maximum ani minimum

Pokiaľ by sme dostali funkciu g₀: y = 3 * log₂ ( x + 1 ) - 2, znova by sme sa odrazili od funkcie g₁. Pozor! Od funkcie g₁ a až potom odpočítame číslo 2. Narysujeme ju tak, že najprv vo všetkých bodoch funkcie g₀ vynásobíme hodnoty y číslom 3, následne odpočítame číslo 2. Napr. zoberme si bod C [1;1] z obrázku vyššie. Druhá hodnota je hodnota na osi y, vynásobíme ju číslom 3, dostaneme [1;3], následne odpočítame číslo 2 a výsledný bod bude G [1;1] (Nie je pravidlo, že  vždy budú na rovnakom mieste). Keď si takto prepočítame oba významné body, môžeme si narysovať funkciu:

Jej vlastnosti budú identické s funkciou g.

Na kalkulačke GeoGebra si môžete vyskúšať mnohé ďalšie funkcie a odpozorovať ich rozdiely.