Lineárne rovnice

Rovnica

Rovnica je vzťah medzi dvoma matematickými výrazmi. Delí sa na dve strany, ľavú stranu a pravú stranu, pričom ich od seba delí znamienko =. Príkladom rovnice je napríklad 4 + 5x = 9. Riešenie rovnice je koreň rovnice. Označuje sa ako K, príkladným riešením rovnice je napr. K = {4; 9} alebo K = {}. Prázdny koreň označujeme ako K = {} Rovnice delíme na rovnice s jednou neznámou a rovnice s viacerými neznámymi.

Dôležité pojmy

• neznáma - najčastejšie písmeno x, neznáma je akákoľvek premenná v rovnici, ktorej hodnotu nepoznáme a snažíme sa ju zistiť
• ľavá strana rovnice - výraz vľavo od znamienka rovná sa
• pravá strana rovnice - výraz vpravo od znamienka rovná sa
• podmienka - zaručuje, že riešenie nie je matematický nezmysel
• ekvivalentná úprava - úprava rovnice, ktorá nepridáva, ani neodoberá koreň riešenia, teda nemení jej obor pravdivosti
• neekvivalentná úprava - taká úprava rovnice, ktorá pridáva alebo odoberá koreň jej riešenia, teda mení obor pravdivosti rovnice

Lineárna rovnica

Lineárna rovnica je každá rovnica, ktorá má tvar ax + b = 0, kde a ≠ 0 a a, b ∈ R (patria do oboru reálnych čísel). Dôležité je, aby neznáma bola vždy umocnená len na prvú. Pokiaľ sa v rovnici vyskytne x² alebo x³ nejedná sa o lineárnu rovnicu, ale o kvadratickú alebo kubickú rovnicu. O kvadratickej rovnici sa môžete dozvedieť viac vo výklade na tomto linku. Každá linéarna rovnica s jednou neznámou má práve jeden koreň (alebo nemá koreň pokiaľ je neriešiteľná).

Riešenie lineárnej rovnice

Lineárnu rovnicu riešime tak, že ju upravujeme za pomoci ekvivalentných a neekvivalentných úprav.

Ekvivalentné úpravy:

Výmena pravej a ľavej strany rovnice, otočenie strán
Príklad: x + 2 = 3 je to isté čo 3 = x + 2, môžeme to urobiť kedy chceme

Pričítanie alebo odčítanie toho istého čísla k obidvom stranám rovnice
Veľmi častý spôsob úpravy rovnice, “prehadzujeme” tak číslo z jednej strany rovnice na druhú.
Príklad

• x + 2 = 3, pre vyriešenie rovnice sa snažíme osamostatniť x, v tomto prípade ho osamostatníme tým, že “prehodíme” číslo 2 na druhú stranu rovnice. Pri tzv. prehadzovaní čísla z jednej strany na druhú musíme zmeniť jeho znamienko. Je to to isté, ako odpočítať číslo 2 od celej rovnice, pretože na ľavej strane sa odpočíta od čísla 2, zmizne, a vpravo sa odpočíta od čísla 3, teda sa jeho znamienko otočí.
• x + 2 = 3    | - 2
• x + 2 - 2 = 3 - 2
• x = 1; K = {1}, máme výsledok

Vynásobenie alebo vydelenie oboch strán rovnice rovnakým číslom okrem nuly. 
Pozor! Vynásobiť alebo vydeliť musíme celú stranu. Pokiaľ máme rovnicu x + 2 = 3, po vynásobení číslom 3 dostaneme:

• x + 2 = 3    | * 3
• 3 ( x + 2 ) = 3 * 3
• 3x + 6 = 9

Po vydelení rovnice 3x + 6 = 9 číslom 3 dostaneme:

• 3x + 6 = 9    | : 3
• (3x + 6) : 3 = 9 : 3
• x + 2 = 3

Nemôžeme vynásobiť alebo vydeliť iba jeden člen výrazu.

Neekvivalentné úpravy:

Týchto úprav sa treba báť a používať ich čo najmenej. Ukážeme si len prečo je zlé ich používať, ako ich používať sa naučíte vo výklade o kvadratických rovniciach, zatiaľ tieto neekvivalentné úpravy nebudete potrebovať.

Odmocňovanie rovnice
Pri odmocňovaní nám z riešenia rovnice odpadne celý jeden koreň. Toto sa najlepšie ukazuje na kvadratickej rovnici. 

Príklad:

•   x² = 4         | √
• √x² = √4
•    x = 2, toto síce platí, ale zároveň sme zabudli na to, že nie len 2² = 4, ale aj (-2)² = 4, preto riešenie rovnice K = {2} je nesprávne, teda nie je úplné

Umocňovanie rovnice
Pri umocňovaní rovnice vzniká jeden celý koreň, môžeme sa pozrieť na podobný príklad

•  x = 2, koreň tejto rovnice je K = {2}, ale pre príklad si ju umocnime na druhú
•  x = 2        | ²
• x² = 2²
• x² = 4, tu nastáva problém. Riešením tejto rovnice už nie je K = {2}, ale K = {2; -2}, pretože aj (-2)² = 4

Postup riešenia lineárnej rovnice

Pri riešení lineárnych rovníc sa snažíme používať nasledujúce spôsoby

• snažíme sa zjednodušiť obe strany rovnice, pokiaľ vieme urobiť nejakú matematickú operáciu v rámci jednej strany, určite ju spravme

Príklad: Pokiaľ máme rovnicu x + 3 + 5 = 0, vieme, že 3 + 5 = 8, takže funkciu si prepíšme na x + 8 = 0

• z rovnice sa snažíme odstrániť zlomky ekvivalentnými úpravami
• pokiaľ máme neznámu v menovateli zlomku, snažíme sa ju ekvivalentnými úpravami ju dostať odtiaľ preč
• v rovnici si nájdeme neznámu a snažíme sa ju osamostatniť.

Príklad:

-6x + 1 = 13

najľahšie sa nám prehodí jednotka na druhú stranu, poďme to spraviť

         -6x + 1 = 13    | -1

 -6x + 1 - 1 = 13 - 1

       -6x = 12

teraz môžeme vydeliť celú rovnicu číslom -6

                 -6x = 12    | :(-6)

      -6x / -6 = 12 / -6

        x = -2

Máme výsledok rovnice! Už len zapísať koreň

          K = {-2}

• keď sme úspešne vyriešili rovnicu, porovnajme výsledok s podmienkou.  Pokiaľ výsledok protirečí podmienke (teda z rovnice vyšiel matematický nezmysel), môžeme tvrdiť, že rovnica nemá riešenie, teda jej koreň K je prázdny.
• Ak riešenie vyhovuje podmienkam, môžeme urobiť skúšku správnosti, aby sme si overili, že sme rovnicu vypočítali správne

Podmienky riešenia rovnice

Pokiaľ sa v rovnici nachádzajú zlomky s neznámou v menovateli, musíme určiť podmienky, za ktorých je funkcia riešiteľná. Zoberme si ako príklad nasledujúcu rovnicu:

Vieme, že zlomok nesmie mať v menovateli číslo 0, preto podmienka pre túto rovnicu je x ≠ 0
Podmienka lineárnej rovnice hovorí, že menovatele všetkých lomených výrazov (zlomkov) musia byť rôzne od nuly.
Môžeme si to vyskúšať na zložitejšom príklade:

Menovateľ tejto rovnice je (x + 3) * 5 - 2. Vieme, že sa nesmie rovnať 0, dostávame teda ďalšiu rovnicu, v tomto prípade však miesto znamienka = dosadíme znamienko ≠:

Skúška správnosti

Skúška správnosti overuje, či sa obe strany rovnice rovnajú. Ako príklad si môžeme zobrať rovnicu x + 2 = 4 - x, ktorej koreň je K = {1}
Skúšku správnosti robíme pre obe strany rovnice, vždy si do nej dosadíme namiesto neznámej náš výsledok a nakoniec porovnáme, či sa obe strany rovnájú.

Ľavá strana:

x + 2 = 1 + 2 = 3
ĽS = 3

Pravá strana:

4 - x = 4 - 1 = 3
PS = 3

Porovnáme strany:

ĽS = 3
PS = 3
ĽS = PS

Prehlasujeme, že K = {1} je správne riešenie rovnice