Variácie

Autor: @hyperbola

Varíacie poznáme s opakovaním a bez opakovania.

Varíacie Vk(n) bez opakovania

Varíacia k-tej triedy n-prvkovej množiny M je ľubovoľná usporiadaná k-tica vytvorená z prkvov tejto množiny tak, že každý prvok sa v danej k-tici môže vyskytnúť najviac raz.
Pýtame sa otázku: “Koľkými spôsobmi môžeme z n rôznych prvkov vybrať k-tice ak záleží na poradí, v akom budú?”

Vzorec:
Počet všetkých variácií k-tej triedy n-prvkovej množiny vypočítame nasledovným vzorcom

Povedané bežnou rečou:
n je celkový počet prvkov
k je počet prvkov v jednej triede, zvyčajne menej ako celkový počet prvkov

Pomôcka:
Či použiť varíacie bez opakovania si vieme overiť na základe týchto troch otázok:

  • Používame všetky prvky súšasne? Nie
  • Záleží na poradí prvkov? Áno
  • Môžu sa prvky v danej k-tici opakovať? Nie

Pokiaľ nepoužívame všetky prvky súčasne, záleží nám na poradí prvkov a prvky sa v danej k-tici nemôžu opakovať jedná sa o variácie bez opakovania.
Variácie použité v praxi nájdete dole v riešených príkladoch.

Variácie V´k(n) s opakovaním

Varíacia s opakovaním k-tej triedy n-prvkovej množiny M je ľubovoľná usporiadaná k-tica vytvortená z prvkov tejto množiny tak, že každý prvok sa v danej k-tici môže vyskytnúť najviac k krát.
Pýtame sa otázku: “Koľkými spôsobmi môžeme z n-prvkovej množiny M vybrať k-tice, ak záleží na poradí vyberania a tieto objekty môžu byť vybraté aj viackrát?”

Vzorec:
Počet všetkých variácií k-tej triedy n-prvkovej množiny vypočítame nasledovným vzorcom:

Povedané bežnou rečou:
n je celkový počet prvkov
k je počet prvkov v jednej triede, zvyčajne menej ako celkový počet prvkov

Pomôcka:
Či použiť varíacie bez opakovania si vieme overiť na základe týchto troch otázok:

  • Používame všetky prvky súšasne? Nie
  • Záleží na poradí prvkov? Áno
  • Môžu sa prvky v danej k-tici opakovať? Áno

Pokiaľ nepoužívame všetky prvky súčasne, záleží nám na poradí prvkov a prvky sa v danej k-tici môžu opakovať jedná sa o variácie s opakovaním.

Riešené príklady

Riešený príklad 1

V škole sa vyučuje 12 predmetov, žiaci majú mať v pondelok 4 hodiny. Koľko existuje možností rozvrhu, ktorý sa žiaci budú učiť v pondelok?

Riešenie

Jedná sa o variácie bez opakovania, to zistíme na základe toho, že žiaci sa nemôžu v pondelok učiť všetky predmety (učia sa iba 4 predmety z 12, prvá otázka), záleží v akom poradí sa žiaci budú tieto predmety učiť (druhá otázka) a v jeden deň sa žiaci nemôžu učiť dva rovnaké predmety (tretia otázka).

Vieme, že prvkov celkovo je 12 a z týchto prvkov vyberáme 4, takže zápis bude vyzerať takto:
n = 12     -> počet všetkých prvkov
k = 4         -> dĺžka nášho reťazca
Vk(n) = ?     -> výsledný počet možností

Teraz stačí už len vypočítať podľa vzorca na výpočet Vk(n):

Odpoveď

Počet všetkých možností rozvrhu, ktorý sa môžu žiaci učiť v pondelok je 11 880.

Riešený príklad 2

V ASCII tabuľke sa nachádza dokopy 128 znakov. Koľko existuje možných kombinácií týchto znakov - hesiel, pokiaľ dĺžka hesla je 4 znaky a používať môžeme iba znaky z ASCII tabuľky?

Riešenie

Keďže v jednom hesle používame iba 4 znaky zo 128 (otázka prvá), záleží v akom poradí tieto znaky použijeme (heslo ahoj nie je to isté čo ahoj, otázka druhá) a znaky sa môžu v hesle opakovať (legitímne heslo je aj aaaa, otázka tretia) súdime, že sa jedná o variácie s opakovaním.

Vieme, že celkový počet znakov je 128 a vyberáme 4 znaky do jedného hesla. Môžeme si urobiť zápis:

n = 128
k = 4
V´k(n) = ?

Teraz stačí už len vypočítať podľa vzorca na výpočet V´k(n):

Odpoveď

Počet možností štvorznakového hesla z ASCII tabuľky je 268 435 456.