Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovej kružnici

Autor: @hyperbola

Veľkosti uhlov v radiánoch vyjadrujeme pomocou množiny reálnych čísel a zobrazujeme ich na jednotkovú kružnicu podľa pár dohodnutých pravidiel.

Pravidlá:

  1. Stred jednotkovej kružnice je v bode [0; 0]
  2. Začiatok je v bode [1; 0]
  3. Číslo X zobrazujeme na kružnicu tak, že |< ASX| = |X| (veľkosť uhla v radiánoch)
  4. Kladné hodnoty zobrazujeme v protismere hodinových ručičiek
  5. Záporné hodnoty zobrazujeme v smere hodinových ruččiek

Zobrazenie v kladnom smere:

Zobrazenie v zápornom smere:

Ľubovoľný uhol na jednotkovej kružnici vieme vyjadriť:
1. v stupňovej miere → k • 360° + α
2. v oblúkovej miere →  k • 2π + α
pričom k Є Z (k patrí množine celých čísel)

Zjednodušene sa to dá povedať -> koľko celých otočiek + zvyšný uhol

 

Pre lepšie pochopenie si to ukážeme na pár príkladoch:

φ = 760° 

  1. Najprv si vypočítame počet celých otočiek, čiže 760° si vydelíme 360 a zistíme aj zvyšok.
    760 : 360 = 2 zv. 40
  2. Na záver už len zapíšeme v správnej forme.
    φ = 760° = 2 • 360° + 40°

γ = - 3000° 

  1. Kedže máme záprný uhol, už to bude ťažšie, ale postup bude rovnaký. Najprv si zistíme počet celých otáčok a zvyšný uhol :
    -3000 : 360 = -8 zv. -120
  2. Následne zapíše v správnej forme:
    γ = -8 • 360° - 120°
  3. Tento výsledok ale ešte treba upraviť a to tak, že zvyšný uhol premeníme na kladné, jednoducho ho odpočítame od 360:
    360° - 120° = 240°
  4. Už len upravíme výsledok s novým číslom:
    γ = -8 • 360° - 120° =  -8 • 360° + 240° = 240° - 8 • 360°

ß = 50/12 π

  1. Keď počítame s radiánmi postupujeme rovnakým spôsobom. Najprv zistíme počet celých otáčok tak, že číslo vydelíme 2π, lebo 2π je celá kružnica:
    50/12π : 2π = 2 celých 1/12 (tvar zloženého zlomku)
  2. Teraz dosadíme celé otočky do rovnice a dopočítame:
    α + 2 • 2 π = 50π/12 => α = 50π/12 - 2 • 2π = 2/12π = ⅙ π 
  3. Zapížeme v správnom tvare:
    ß = ⅙ π + 2 • 2 π
     

ω = -7/6 π

  1. Ako vždy, začíname zisťovaním počtu celých otáčok.
    -7/6π : 2π = 0 celých 7/12 (tvar zloženého zlomku)
  2. Teraz dosadíme do rovnice celý počet otáčok a zistíme alfu:
    α + 0 • 2 π = -7/6π => α =  -7/6π
  3. Prepočítame záporné uhly na kladné:
    α = -7/6π + 2π = ⅚ π
  4. Zapíšeme výsledok v správnom tvare:
    ω = 0 • 2π + ⅚ π = ⅚ π

Riešené príklady

Riešený príklad 1

Kružnica na obrázku je rozdelená na 12 rovnakých častí bodmi A - L. Bod A má súradnice [1; 0]. Určte a doplňte do kružnice kam sa zobrazia body: a) 5/3 π, b) -31/4 π

Riešenie

a) 5/3 π 
1. Najprv zistíme, či ideme zobrazovať v kladnom smere alebo zápornom. Keďže číslo 5/3π je kladné, zobrazujeme v protismere hodinových ručičiek.

2. Teraz budeme pracovať s informáciou, že polkružnica je π (rad). Číslo 5/3 π sa dá upraviť na zmiešané číslo 1 ⅔ π . 

3. Podľa dohody so zobrazovaním začneme v bode A. Jedna celá sa nám zobrazí do bodu G. Odtiaľ pokračujeme so zobrazovaním ⅔ . Tretina polkružnice sú jej dva diely (od bodu G to je po bod I) a my potrebujeme ⅔ polkružnice, čiže 5/3 π sa zobrazí v bode K.

b) -31/4 π
1.Postupujeme ako minule, ale teraz budeme zobrazovať v zápornom smere, čiže v smere hodinových ručičiek.

2. Upravíme si -31/4 π na zmiešané číslo -> -7 ¾ π.

3. Podľa pravidiel, znova začneme v bode A. Spravíme 7 polovičných otočiek (lebo π je polkružnica, nie celá) v smere hodinových ručičiek a dostávame sa na bod G. 

4. Teraz si rozdelíme polkružnicu na štvrtiny (sleduj zelené body):

5. ¾ polkružnice sú v bode O, čiže odpoveď znie, že -31/4 π sa zobrazí v strede medzi bodmi C a B.

Odpoveď

  1. 5/3 π sa zobrazí v bode K.
  2. -31/4 π sa zobrazí v strede medzi bodmi C a B.