Vzťahy medzi goniometrickými funkciami

Autor: @hyperbola

V tomto výklade nájdeš vzťahy medzi funkciami sínus, kosínus, tangens a kotangens. 

Pytagorova veta v goniometrii 
sin2 x + cos2 x = 1

Vyjadrenie goniometrických funkcií  z pytagorovej vety:

  1. sin2 x = 1 - cos2 x
  2. |sin x| = 1 - cos2 x
  3. cos2 x = 1 - sin2 x
  4. |cos x| = 1 - sin2 x

Tangens a kotangens
tg x = sin xcos x
tg x・cotg x = 1

Vzťahy pre dvojnásobné uhly
sin 2x = 2 sin x・cos x
cos 2x = cos2 x - sin2 x

Riešenie príkladov nájdeš v riešených úlohách.

Riešené príklady

Riešený príklad 1

Riešenie

Odpoveď

Riešený príklad 2

Riešenie

Keďže máme zadanú podmienku, musíme ju brať do úvahy. Nakreslíme si ju na jednotkovú kružnicu.

Podmienka nám určuje, že uhol sa nachádza v treťom kvadrante, čiže sínus aj kosínus daného uhla budú záporné.

Odpoveď

Riešený príklad 3

Riešenie

a) Najprv si výjmeme cos x pred zátvorku

sin2 x・cos x + cos3 x = cos x ( sin2 x + cos2 x )

Teraz si všimneme, že v zátvorke je pytagorova veta, čiže celú zátvorku vieme prepísať na jednotku.

sin2 x・cos x + cos3 x = cos x ( sin2 x + cos2 x ) = cos x

b) Keďže v menovateli máme neznámu, musíme napísať aj podmienku.

p: sin x + 2 ≠ 0 => sin x ≠ -2, to nebude nikdy, čiže x patrí do R

Teraz začneme počítať príklad.V čitateli aj v menovateli si upravíme členy na rovnakú goniometrickú funkciu. My si vyjadríme pomocou pytagorovej vety v goniometrii kosínus na druhú.

Aby sme mohli krátiť potrebujeme dostať súčin. Čitateľa si vieme upraviť pomocou vzorca (a - b)2.

Teraz už len vykrátime čitateľa s menovateľom a máme výsledok.

 

Odpoveď

a) cos x
b) 2 - sin x

Riešený príklad 4

Výrazy zjednoduš a urči za akých podmienok majú dané výrazy a ich úpravy zmysel. Počítaj v R.

Riešenie

a) Najprv si určíme podmienky. Menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nule, čiže

Teraz počítame príklad. Najprv si upravíme tvary cos 2x podľa vzťahov pre dvojnásobné uhly.

Teraz si všimneme, že v čitateli aj mneovateli máme pytagorovu vetu v goniometrii, lebo 1 - sin2 x = cos2 x a 1 - cos2 x = sin2 x. 

b) Znova začneme podmienkou.

Teraz počítame príklad. V čitateli si všimneme pytagorovu vetu v goniometrii a v menovateli vyjmeme 3 pred zátvorku.

Následne menovateľa rozložíme podľa vzťahu pre dvojnásobné uhly.

Znova si všimneme pytagorovu vetu (1 - sin2 x) v menovateli a upravíme.

 Na záver len vykrátime čitateľa s menovateľom a máme výsledok.

Odpoveď