Vlastnosti funkcií - ohraničenosť

Ďalšia vlastnosť funkcie je ohraničenosť. Funkcia môže byť ohraničená, ohraničená zdola, ohraničená zhora alebo neohraničená. Taktiež sa budeme zaoberať extrémami funkcie, čiže minimom a maximom.

Funkcia ohraničená zdola
Funkcia je ohraničená zdola, ak pre všetky x z jej definičného oboru existuje také číslo d z jej oboru hodnôt, pre ktoré platí, že všetky funkčné hodnoty čísel x sú väčšie nanajvýš rovné tomuto číslu. 

Matematicky vyjadrené: f je ohraničená zdola ⇔ ∀ x Є D_f ∃ d Є H_f : d ≤ f(x)

Ak existuje jedno x z definičného oboru funkcie také, že jeho funkčná hodnota sa rovná d, tak potom číslo d je y-ová súradnica bodu, ktorý voláme minimum.

Matematicky vyjadrené: ak ∃ x Є D_f : d = f(x) => d je MIN[x, d = f(x)]

Táto funkcia je ohraničená zdola číslom 0 (y-ová súradnica vrcholu = bodu [-2; 0]) a bod [-2; 0] je jej minimom. Zapíšeme: 
f je ohraničená zdola;, d = 0
MIN[-2; 0]

Táto funkcia je ohraničená zdola, ale nemá minimum, len sa asymptoticky blíži (blíži sa k osi x, ale nikdy sa jej nedotkne). Zapíšeme:

f je ohraničená zdola; ∄ MIN  

Funkcia ohraničená zhora
Funkcia je ohraničená zhora, ak pre všetky x z jej definičného oboru existuje také číslo h z jej oboru hodnôt, pre ktoré platí, že všetky funkčné hodnoty čísel x sú menšie nanajvýš rovné tomuto číslu. 

Matematicky vyjadrené: f je ohraničená zdola ⇔ ∀ x Є D_f ∃ h Є H_f : h ≥ f(x)

Ak existuje jedno x z definičného oboru funkcie také, že jeho funkčná hodnota sa rovná h, tak potom číslo d je y-ová súradnica bodu, ktorý voláme maximum.

Matematicky vyjadrené: ak ∃ x Є D_f : h = f(x) => h je MAX[x, h = f(x)]

Funkcia je ohraničená zhora číslom 7 (y-ová súradnica vrcholu = bodu [-2; 7]) a bod [-2; 7] je jej maximom. Zapíšeme: 
f je ohraničená zhora, h = 7
MIN[-2; 7]

Táto funkcia je ohraničená zhora, ale nemá maximum, len sa asymptoticky blíži (blíži sa k osi a, ktorú voláme asymptota, ale nikdy sa jej nedotkne). Zapíšeme:
f je ohraničená zhora; ∄ MAX  

Ak je funkcia ohraničená aj zdola aj zhora povieme, že je ohraničená.

f je ohraničená, ale nemá extrémy -> H_f = (d; h); d, h ⋲ R
f je ohraničená a má extrémy -> H_f = < d; h >; d, h ⋲ R

Globálne a lokálne extrémy
Maximum a minimum o ktorom sme si povedali na začiatku nazývame inak aj globálne maximum a globálne minimum, pretože platia pre celý definičný obor. Existuje aj lokálne minimum a lokálne maximum. Tie platia iba pre určité podmnožiny definičného oboru.