Vlastnosti funkcií - monotónnosť

Pri určovaní monotónnosti funkcie sa budeme zaoberať pojmami rastúca funkcia, klesajúca funkcia a konštantná funkcia.

Pomôcka
Pri monotónnosti funkcie sa pomôcť otázkami kedy, kde a čo robí daná funkcia.

Rastúca funkcia
Funkcia je rastúca vtedy, ak pre všetky prvky z jej definičného oboru také, že x₁ je menšie ako x₂ platí, že funkčná hodnota x₁ je menšia ako funkčná hodnota x₂. 

Matematicky vyjadrené: f je rastúca ⇔ ∀ x₁, x₂ Є D_f ; x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂)

Na obrázku si môžeme všimnúť, že funkčná hodnota menšieho ľubovoľného x je menšia ako funkčná hodnota väčšieho ľubovoľného x, čiže funkcia je rastúca.

Klesajúca funkcia
Funkcia je klesajúca vtedy, ak pre všetky prvky z jej definičného oboru také, že x₁ je menšie ako x₂ platí, že funkčná hodnota x₁ je väčšia ako funkčná hodnota x₂.

Matematicky vyjadrené: f je rastúca ⇔ ∀ x₁, x₂ Є D_f ; x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂)

Na obrázku si môžeme všimnúť, že funkčná hodnota menšieho ľubovoľného x je väčšia ako funkčná hodnota väčšieho ľubovoľného x, čiže funkcia je klesajúca.

Nerastúca funkcia
Funkcia je nerastúca vtedy, ak pre všetky prvky z jej definičného oboru také, že x₁ je menšie ako x₂ platí, že funkčná hodnota x₁ je väčšie nanajvýš rovné ako funkčná hodnota x₂.

Matematicky vyjadrené: f je rastúca ⇔ ∀ x1, x2 Є Df ; x1 < x2 => f(x1) ≥ f(x2)

Nerastúca funkcia na obrázku je kombinácia klesajúcej a konštantnej funkcie, ale nerastúca funkcia je aj každá klesajúca a každá konštantná funkcia, lebo nikdy nerastie.

Neklesajúca funkcia
Funkcia je neklesajúca vtedy, ak pre všetky prvky z jej definičného oboru také, že x₁ je menšie ako x₂ platí, že funkčná hodnota x₁ je menšie nanajvýš rovné ako funkčná hodnota x₂.

Matematicky vyjadrené: f je rastúca ⇔ ∀ x₁, x₂ Є D_f ; x₁ < x₂ => f(x₁) ≤ f(x₂)

Neklesajúca funkcia na obrázku je kombinácia rastúcej a konštantnej funkcie, ale neklesajúca funkcia je aj každá rastúca a každá konštantná funkcia, lebo nikdy neklesá.

Konštantná funkcia
Funkcia je konštantná vtedy, ak pre všetky prvky z jej definičného oboru také, že x₁ je menšie ako x₂ platí, že funkčná hodnota x₁ sa rovná funkčnej hodnote x₂. 

Matematicky vyjadrené: f je rastúca ⇔ ∀ x₁, x₂ Є D_f ; x₁ < x₂ => f(x₁) = f(x₂)

Na obrázku môžeme vidieť, že funkčné hodnoty ľubovoľných x sa vždy rovnajú, čiže funkcia je konštantná.

Rýdzo monotónna funkcia
Rýdzo monotónna funkcia je každá čisto rastúca, čisto klesajúca alebo konštantná.

Zápis
Monotónnosť zapisujeme nasledovne:
funkcia klesá/rastie/je konštantná ∀ x ⋲ (interval na ktorom klesá alebo množina - definičný obor) alebo ∀ x ⋲ (interval na ktorom klesá alebo množina - definičný obor) funkcia klesá/rastie/je konštantná

f rastie ∀ x ⋲ (-∞; -2)
f je konštantná ∀ x ⋲ (-2; 2)
f klesá ∀ x ⋲ (-2; ∞)