Kvadratická funkcia

Je daná predpisom y = ax² + bx + c ,kde a,b,c sú koeficienty z oboru reálnych čísel, x je tiež z oboru reálnych čísel. Skladá sa z troch členov:

• ax² (kvadratický člen); a0, inak by vypadol kvadratický člen a mali by sme len lineárnu funkciu. 
• bx (lineárny člen)
• c (absolútny člen) 

Kvadratická funkcia musí obsahovať minimálne kvadratický člen, iné nemusí. Zároveň platí, že ak máme kvadratickú funkciu, je v tomto tvare, alebo sa to dá upraviť na tento tvar. Graf kvadratickej rovnice sa nazýva parabola. Zoberme si základnú kvadratickú funkciu x², jej tabuľku, graf a ideme opísať jej vlastnosti:

• D_(f)=R (množina všetkých x je množina reálnych čísel)
• H_(f) = 〈0; ∞) (množina všetkých y je interval od nuly po nekonečno). 
• Funkcia je klesajúca na intervale (-∞;0〉 a rastúca na intervale 〈0 ; ∞)
• Má lokálne a zároveň globálne minimum pre x = 0, zároveň je aj zdola ohraničená, maximá nemá
• Je to párna funkcia podľa osi y
• Nie je prostá
• Vrchol paraboly je bod V = [0; 0]

Tak už sme zistili, aká to je základná kvadratická funkcia, no nie všetky sú také. Každá môže mať rozličné koeficienty, ideme si teda ukázať, ako môžu kvadratické funkcie vyzerať, keď meníme koeficient a.

Môžeme teda pozorovať, že koeficient a nám mení šírku paraboly a smer paraboly.  

• a>1 (zúženie)
• 0<a<1 (rozšírenie) 
• a<0 (konkávna funkcia)
• a= 0 (konštantná funkcia)

Ak je a kladné, tak máme konvexnú kvadratickú funkciu, môžeme si to zapamätať tak, že sa na nás usmieva. Opakom je konkávna funkcia, kedy a< 0, vtedy sa na nás funkcia mračí. Preto je táto konkávna funkcia obrátená, pretože sme všetky hodnoty funkcie vynásobili číslom -3 (koeficientom a) a tým sa nám funkcia preklopila pod os x.

Predpis kvadratickej funkcie y = ax² + bx + c však vieme upraviť na pre nás prijateľnejší variant, a to na y = h.(kx + l)² + m, z tohto tvaru vieme vypočítať aj vrchol paraboly, ktorý sa rovná V-l, m. Tento tvar zápisu kvadratickej funkcie vieme získať doplnením na úplný štvorec. Ideme si teda upraviť predpis y=3x² -6x+2.

Slovné vysvetlenie:

• Najprv si vyjmeme koeficient a pred zátvorku (nemusíme z celého predpisu, stačí iba z kvadratického a lineárneho člena (3x²+6x)).
• Výraz doplníme na vzorec (a+b)², resp. (a-b)² (čo sa rovná a²-2ab+b²), zároveň hneď doplníme aj výraz –b², aby sa to rovnalo.
• Po úprave ešte sčítame výraz -b² s abolútnym členom kvadratickej funkcie a máme upravený predpis
• Z tohto predpisu vieme ľahko zistiť napr. vrchol paraboly

Úpravu na úplny štvorec vieme použiť aj opačne, keď chceme upraviť predpis  y = (kx + l)² + m na y = ax² + bx + c.

y = 4. (x+1/2)² =4.(x²+2.x.1/2+(1/2)²) = 4.(x²+x+1/4)= 4x²+4x+1

Predpis  y = h.(x + a)² + b nám pomáha pri rysovaní grafu kvadratickej funkcie, lebo vieme z neho mnoho vyčítať. Máme základnú funkciu x², potom:

• Koeficient h nám mení jej šírku; ak h > 1, potom sa graf zúži, ak 0 < h < 1, potom sa graf rozšíri, ak h < 0, potom je graf konkávny a ak h = 0, potom kvadratický člen (x + a)² vypadáva a máme konštatnú funkciu pre y=m.
• Koeficient  a nám určuje posun po osi x (ak je a > 0, tak doľava, ak a < 0, tak doprava).
• Koeficient b nám určuje posun po osi y (ak je b > 0, tak dohora, ak b < 0, tak dole).

Pri grafe kvadratickej funkcie si v nej značíme aj priesečníky s osou x a osou y, aby to bolo čo najpresnejšie narysované, my si však vieme aj samostatne vypočítať.

Priesečník s osou y sa počíta pre bod P_y = [0, y], kde x sa rovná 0. Dosadíme si teda do rovnice y = ax² + bx + c namiesto x nulu a počítame.

P_y: y=x²+4x-5  

      y=0²+4.0-5

      y=-5 

Preto P_y= [0, -5]

Priesečník s osou x sa počíta pre bod P_x = [x, 0],, kde y sa rovná 0. Dosadíme si teda so rovnice y = ax² + bx + c nemiesto y nulu a počítame. Toto máme ale už nový druh rovnice a to je kvadratická o ktorej sa dočítate vo výklade o kvadratických rovniciach.