Výroková logika

Výroková logika je časť matematickej logiky, ktorá výroky vytvára a spája na základe pravdivosti výrokov.

Výroková logika sa zaoberá iba oznamovacími vetami. Tie sa môžu deliť na axiomy, výroky a hypotézy. Axioma je veta v matematike, ktorá platí a nedokazuje sa. Axiomou môžeme napr. nazvať tieto vety:

• Pravý uhol má veľkosť 90°.
• Vnútorné uhly v trojuholníku dávajú dokopy súčet 180°.
• Objem kocky vieme vypočítať vzorcom a³, kde a = hrana kocky.

Výrok je oznamovacia veta, ktorej pravdivostnú hodnotu vieme určiť, ktorá môže byť buď pravda (váha 1) alebo nepravda (váha 0).

P_(V) = 1 resp. 0  

Hypotéza je špeciálny druh výroku, ktorého pravdivostnú hodnotu nepoznáme, napr. Vesmír je nekonečný. (nebolo to dokázané, sú to iba naše domnienky).

Výrok sa značí veľkým písmenom V. Poznáme 2 druhy výrokov, a to jednoduchý a zložený výrok.

• Jednoduchý výrok = jedna oznamovacia veta
• Zložený výrok = spájanie jednoduchých výrokov pomocou logických spojok

Jednoduché výroky:

• Pravý uhol má 90°. P_(V) = 1
• Dvojka je párne číslo. P_(V) = 1
• Trojuholník má 4 steny. P_(V) = 0

Máme nasledujúce výroky:

• Aspoň 3 žiaci 2.B triedy boli vyznamenaní.
• Všetci žiaci školy nosia rúška.
• Existuje žiak, ktorý má výšku 189 cm.
• Vo všetkých triedach sa nevykuruje.

Vieme, že to sú jednoduché výroky, no sú trochu zvláštne. Obsahujú totižto kvantifikátor (červeným zvýraznené), slovné spojenie, udávajúce počet objektov, pre ktoré výrok platí. Rôzne kvantifikátory udávajú rozdielne množstvo objektov. Ukážme si to na číselnej osi:

Poznáme aj špeciálne druhy kvantifikátorov, a to :

• Všetci = všeobecný kvantifikátor
• Existuje = existenčný kvantifikátor

K výroku ,,pravý uhol má veľkosť 90°“, vieme nájsť aj výrok s opačnou pravdivostnou hodnotou ,,pravý uhol nemá veľkosť 90°“. Táto zmena sa nazýva negácia výroku. Značí sa V'. Najľahšie vieme znegovať výrok tak, že pred neho pridáme slovné spojenie: ,,Nie je pravda, že V“. Keď však výrok obsahuje aj kvantifikátor, tak máme aj druhú možnosť, že výrok upravíme spolu s kvantifikátorom. Tu máme zopár príkladov, ako znegovať výroky:

• V: Je zima.  V': Nie je pravda, že je zima. alebo Nie je zima.
• V: Bude nás najviac 5.  V': Bude nás viac ako 5. alebo Bude nás aspoň 6.
• V: Niekto niekoho videl. V': Všetci niekoho nevideli alebo Nikto nikoho nevidel.
• V: Niekedy prší. (Ǝ aspoň 1 deň, keď prší) V': Všetky dni neprší alebo Nikdy neprší.

Mohli sme si všimnúť, že existenčný a všeobecný kvantifikátor sa pri negácii vymieňajú. Keď máme teda vo výroku existenčný alebo všeobecný kvantifikátor, tak pri negácii ich navzájom vymieňame. Taktiež sme si mohli všimnúť, že znegované tvary majú rôzne formy vyjadrenia, ale to je už záležitosť slovenského jazyka, s ktorým častokrát býva u výrokoch problém.

Povedali sme si teda už niečo o jednoduchých výrokoch a teraz si môžeme povedať niečo aj o zložených výrokoch. 

Zložený výrok je výrok, ktorý je tvorený spojením jednoduchých výrokov pomocou logických spojok, negácií a zátvoriek. Poznáme 4 druhy spojení pomocou logických spojok, tieto to sú:

• Konjunkcia, zápis A⋀B  (spojka a; a súčasne)
• Alternatíva (disjunkcia), zápis A V B  (alebo)
• Implikácia, zápis A=>B  (ak A, potom B; a A vyplýva B)
• Ekvivalencia(obojsmer. implikácia), zápis A<=>B (A platí práve vtedy, keď B)

Použitie týchto spojok si ideme ukázať na spojení dvoch jednoduchých výrokov. Máme výrok A: Spím. a výrok B: Nemôžem si urobiť úlohu.

• A⋀B  : Spím a súčasne si nemôžem urobiť úlohu.
• A V B  : Spím alebo si nemôžem urobiť úlohu.
• A=>B :   Ak spím, tak si nemôžem urobiť úlohu.
• A<=>B : Spím práve vtedy keď si nemôžem urobiť úlohu.

Aj pri zložených výrokoch vieme určiť ich pravdivostnú hodnotu, a nie je to až tak ťažké:

Pri konjunkcii výrokov A a B máme pravdivostnú hodnotu 1 iba vtedy, ak pravdivostná hodnota obidvoch výrokov sa rovná jednej. Ak sa pravdivostná hodnota jedného alebo aj obidvoch výrokov nerovná jednej, tak má pravdivostnú hodnotu 0

• Ak P_(A) = 1 a P_(B) = 1, tak P₍A⋀B₎ = 1
• Ak P_(A) = 1 a P_(B) = 0, tak P₍A⋀B₎ = 0
• Ak P_(A) = 0 a P_(B) = 1, tak P₍A⋀B₎ = 0
• Ak P_(A) = 0 a P_(B) = 0, tak P₍A⋀B₎ = 0

Pri alternatíve (disjunkcii) výrokov A a B máme pravdivostnú hodnotu 1 vtedy, keď je aspoň jeden výrok pravdivý. Ak sa pravdivostná hodnota obidvoch rovná 0, potom aj alternatíva týchto výrokov sa rovná 0. Pravdivostná hodnota 1 je aj vtedy, ak sa obidve pravdivostné hodnoty výrokov rovnajú 1.

• Ak P_(A) = 1 a P_(B) = 1, tak P₍A V B₎ = 1
• Ak P_(A) = 1 a P_(B) = 0, tak P₍A V B₎ = 1
• Ak P_(A) = 0 a P_(B) = 1, tak P₍A V B₎ = 1
• Ak P_(A) = 0 a P_(B) = 0, tak P₍A V B₎ = 0

Pri implikácii výrokov A a B máme pravdivostnú hodnotu 1 vtedy, keď z pravdivostnej hodnoty 0 výroku A vyplynie pravdivostná hodnota 0 výroku B alebo z pravdivostnej hodnoty 0 výroku A vyplynie pravdivostná hodnota 1 výroku B. Inak povedané, ak z nepravdy vyplýva nepravda, implikácia má pravdivostnú hodnotu 1 a ak z nepravdy vyplýva pravda, implikácia má pravdivostnú hodnotu 1. To isté platí, ak získame z pravdy pravdu.

• Ak P_(A) = 1 a P_(B) = 1, tak P₍A=>B₎ = 1
• Ak P_(A) = 1 a P_(B) = 0, tak P₍A=>B₎ = 0
• Ak P_(A) = 0 a P_(B) = 1, tak P₍A=>B₎ = 1
• Ak P_(A) = 0 a P_(B) = 0, tak P₍A=>B₎ = 1

Pri ekvivalencii (obojsmernej implikácii), sa riadime ako pri implikácii, no musí to taktiež platiť aj opačne, čiže B=>A. Ekvivalencia má iba vtedy pravdivostnú hodnotu 1, ak sa pravdivostné hodnoty výrokov A a B rovnajú.

• Ak P_(A) = 1 a P_(B) = 1, tak P₍A<=>B₎ = 1
• Ak P_(A) = 1 a P_(B) = 0, tak P₍A<=>B₎ = 0
• Ak P_(A) = 0 a P_(B) = 1, tak P₍A<=>B₎ = 0
• Ak P_(A) = 0 a P_(B) = 0, tak P₍A<=>B₎ = 1

Pri zapisovaní pravdivostných hodnôt si ideme pomôcť takouto tabuľkou:

Ak nám v tabuľke vychádza stĺpec so samými 1, tak tento stĺpec sa nazýva tautalógia. Keď má, naopak, samé 0, tak sa nazýva kontradikcia. 

Z tabuľky môžeme vyčítať, že pravdivostné hodnoty A⋀B a B⋀A ; A V B a BA ; A<=>B a  B<=>A sa rovnajú. Túto vlastnosť nazývame ako komutatívnosť. Konjunkcia, disjunkcia a ekvivalencia sú teda komutatívne. 

Ďalšia vlastnosť zložených výrokov je asociatívnosť, kedy:

• A⋀(B⋀C) <=>(A⋀B) ⋀C

Tieto dva zložené výroky sú teda ekvivalentné, ich pravdivostná hodnota je teda rovnaká.

Taktiež máme aj vlastnosť distributívnosť, kedy:

• A⋀(B V C) <=>(A⋀B) ⋀(A⋀C)

Aj tieto zložené výroky sú ekvivalentné.

Máme ďalšiu tabuľku:

Môžeme si všimnúť, že ak základnú implikáciu A=>B obrátime na obrátenú implikáciu B=>A, tak nám výjdu rozdielne pravdivostné hodnoty, no ak v obrátenej implikácii znegujeme výroky A a B, tak nám výjdu rovnaké pravdivostné hodnoty ako v základnej implikácii. Túto obmenu nazývame obmenená implikácia a jej pravdivostné hodnoty sa rovnajú základnej implikácii.

Pri výrokoch poznáme aj tzv. De Morganove zákony, čo sú pravidlá negácie výrokov, znejú takto:

• (A⋀B)' <=> A'B'
• (A V B)' <=> A'⋀B'
• (A=>B)' <=> A⋀B'
• (A<=>B)' <=> (A=>B⋀B=>A) <=> (A⋀B')(B⋀A')

Pri výrokoch sa stretáme aj s pojmami výroková formula a výroková forma.

Výroková formula je zloženie viacerých výrokov pomocou logických spojok, zátvoriek a negácie, napr. (M⋀V) =>I

Výroková forma je ale zápis, ktorý obsahuje premenné, ktoré keď dosadíme hodnotami, tak dostaneme pravdivý alebo nepravdivý výrok ako napr. x² – 3 = 5.