Výrazy a ich úpravy

Autor: @hyperbola

Obor premennej
Obor premennej je množina všetkých čísel, ktoré môžeme dosadiť za premennú.

Definičný obor 
Definičný obor výrazu je množina všetkých hodnôt premennej, pre ktoré má daný výraz zmysel.

Úprava výrazov
Upraviť výraz znamená nájsť výraz rovný danému výrazu v danom definičnom obore. Dôvod prečo upravujeme výrazy je jednoduchý. Snažíme sa o zjednodušenie počítania a celkového uvažovania.  Napríklad, ak chceme vypočítať koľko je

môžeme si zjednoduśiť príklad krátením. 

Takéto úpravy sú však možné iba keď je aj čitateľ aj menovateľ zlomku v súčine. Na to aby sme dosiahli súčin z daného výrazu, existuje viacero možností.

Vynímanie pred zátvorku
Napríklad:
ab + bc= b(a + c)

-4b -2 = -2(2b - 1)

Použitie vzorcov
Užitočné vzorce:

a2 - b2 =  aa + ab - ba - bb = (a + b)(a - b)

(a + b)2 = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 =  aa - ab - ba + bb = a2 - 2ab + b2

(a + b)3 =  a3 + 3a2b + 3ab2 + b2

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Rozklad kvadratického výrazu na súčin
Hľadáme také dve čísla, ktorých súčin je číslo, ktoré neni vynásobené neznámou a ktorých súčet  je číslo vynásobené neznámou. Najlepšie vysvetlenie bude na príklade.

x2 + 4x - 21 = (x +/- číslo )(x +/- číslo)
súčin 7 a -3 je -21,
súčet 7 a -3 je 4
=> x2 + 4x - 21 = (x - 3)(x + 7)

Pozor!
Nemôžeme zabudnúť na podmienky alebo definičný obor, napríklad keď máme neznámu v menovateli zlomku, lebo menovatel sa nesmie rovnať 0.

Riešené príklady

Riešený príklad 1

Upravte výraz

Riešenie

Najprv si určíme podmienky.

  • menovatele sa nesmú rovnať nule
  1. 2 + b ≠ 0 => b ≠ -2
  2. b - 3 ≠ 0 => b ≠ 3
  3. b2 - b - 6 ≠ 0
    Upravíme na súčin pomocou rozkladu kvadratického výrazu na súčin:
    (b - 3)(b + 2) ≠ 0 => b ≠ 3; -2

Teraz riešime samotný výraz. Najprv menovateľa v tretom zlomku upravíme na súčin ako pri podmienkach. 

Potom dáme zlomky na spoločného menovatela, roznásobíme zátvorky a posčitujeme čo sa dá.

Teraz upravíme čitateľa na súčin.

Keďže máme aj v čitateli aj v menovateli súčin, môžeme krátiť.

Odpoveď

pričom b  ≠ -2; 3

Riešený príklad 2

Vyjadri výrazom:

  1. o pätnásť viac ako štvornásobok čísla x
  2. súčin čísla deväť a čísla x zmenšeného o päť
  3. trojnásobok čísla x vydelený siedmimi

Riešenie

  1. Najprv si určíme štvornásobok čísla x -> 4x. Potom ho zväčíme o pätnásť -> 4x + 15
  2. Najprv si určíme číslo x zmenšené o päť -> x - 5. Teraz ho dáme do súčinu s číslom deväť -> 9(x - 5)
  3. najprv si určíme trojnásobok čísla x  -> 3x, potom ho vydelíme siedmimi -> 3x : 7

Odpoveď

  1. 4x + 15
  2. 9(x - 5)
  3. 3x : 7

Riešený príklad 3

Učiteľ vytvoril v triede na hodine 4-ice. Vyjadrite výrazom pomocou premennej x koľko je žiarok v triede, ak 6 žiakov chýba.

Riešenie

Premennú x si určíme, že bude počet 4-íc, čiže prítomných žiakov na hodine bude 4x. Teraz už len stačí pripočítať chýbajúcich žiakov. Výsledok bude 4x + 6.

Odpoveď

Žiakov je v triede 4x + 6, ak x vyjadruje počet 4-íc.